Hace poco estuvimos haciendo un repaso de los Números Naturales, Números Enteros y Operaciones, esta vez para darle fin a la aritmética  continuaremos con los Números racionales y sus operaciones aritméticas  entre ello recordaremos como sumar, restar, multiplicar y dividir fracciones, obtener el minimo común múltiplo y simplificar.


Se le llama Números Racionales a todo numero que pueda representarse como el coeficiente de dos números enteros, es decir, una fracción común \(\frac{a}{b}\) con numerador “a” y denominador “b”, donde “b” debe ser distinto de cero (\(b\neq0\)) ademas “a” y “b” deben pertenecer al conjunto \(\mathbb{Z}\).

Números Racionales y Aritmética

Conjunto de Números racionales y operaciones Aritméticas

Conjunto de Números Racionales

\(\mathbb{Q}\{\frac{a}{b},a,b\in\mathbb{Z}\ donde\ b\neq0\}\)

Características del Conjunto de Números racionales:

Es un conjunto Ordenado \(\mathbb{Q}\{\infty\cdots\frac{-10}{5},\frac{-1}{2},0,\frac{1}{2}\frac{10}{5}\cdots\infty\}\)

\(3=\frac{3}{1}=\frac{6}{2}=\frac{9}{3}=\frac{18}{6}\)

Operatorias en Q

Suma: La suma tiene dos formas de realizarse en los Números Racionales.

Denominadores iguales: En este caso al realizar la operatoria se mantienen los denominadores y se operan los numeradores.

Ej. \(\frac{1}{3}+\frac{4}{3}-\frac{9}{3}+\frac{7}{3}-\frac{5}{3} = \frac{1+4-9+7-5}{3} = \frac{-2}{3}\)

Ej. \(-\frac{18}{5}+\frac{7}{5}-\frac{6}{5}-\frac{12}{5}+\frac{10}{5} = \frac{-18+7-6-12+10}{5} = \frac{-19}{5}\)

Denominadores distintos: Para sumar fracciones de distintos denominadores se debe obtener como primera parte el denominador común, que se obtendrá utilizando la tabla de números primos o calculando los múltiplos para obtener el MCM (Mínimo Común Múltiplo).

Ejercicio. \(\frac{1}{2}+\frac{13}{4}-\frac{7}{5}\)

Primero aprenderemos a obtener el Mínimo Común Múltiplo para la suma con distinto denominador de Números racionales.

Mínimo Común Múltiplo: El número más pequeño distinto de cero que es múltiplo de dos o más números.

¿Que es un Múltiplo?
– Los múltiplos de un número son los que se obtienen cuando multiplicas por otros números como en las tablas de multiplicar.

Ej:
Los múltiplos de 3 son  3,6,9,12,15,18,21, …, ∞
Los múltiplos de 12 son 12,24,36,48,60,72, …, ∞

¿Que es un Mínimo Común Múltiplo?

Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números.

Por ejemplo, si escribes los múltiplos de dos números diferentes (digamos 4 y 5) los múltiplos comunes son los que están en las dos listas:

Los múltiplos de 4 son 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, …
Los múltiplos de 5 son 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, …

¿Ves que 20 y 40 aparecen en las dos listas? Entonces, los múltiplos comunes de 4 y 5 son: 20, 40 (60, 80, etc. también) donde 20, al ser el numero menor y es múltiplo de ambos seria el MCM (Mínimo Común Múltiplo)

Ej: Encontrar el mínimo común múltiplo de 4,6 y 8.

Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, …
Los múltiplos de 6 son:6, 12, 18, 24, 32, 40, …
Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, …

Entonces 24 es el mínimo común múltiplo.

Seguimos con el ejercicio de la sumatoria de denominadores distintos en los números racionales.

Ej. \(\frac{1}{2}+\frac{13}{4}-\frac{7}{5}\) y ahora que sabemos obtener el mínimo común múltiplo, prosigamos con el ejercicio.

Ejercicio. \(\frac{1}{2}+\frac{13}{4}-\frac{7}{5}\), obtener el MCM de 2,4,5

Los múltiplos de 2 son: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, …
Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, …
Los múltiplos de 5 son: 5, 10, 15, 20, 25, 30, …

El Mínimo Común Múltiplo es 20

El siguiente paso a seguir en la sumatoria de fracciones con distintos denominador es, dividir el Mínimo Común Múltiplo obtenido por el denominador y multiplicarlo por el numerador de cada fracción.

\(\frac{1}{2}+\frac{13}{4}-\frac{7}{5} = \frac{((20:2)\cdot1)+((20:4)\cdot13)-((20:5)\cdot7)}{20}\) = \(\frac{10 + 65 – 28}{20}\)

El Minimo común múltiplo se divide por el denominador de cada fracción y el resultado se multiplica por su numerador, luego se resuelve la fracción y se conserva el minimo común múltiplo.

El resultado = \(\frac{47}{20}\)

Multiplicación: para multiplicar fracciones en los Números Racionales, se realiza el producto de numerador por numerador y denominador por denominador.

\(\frac{4}{7}\cdot-\frac{7}{5} = 4\cdot7 / 7\cdot5 = -\frac{28}{35} = -\frac{4}{5}\)

Si en una multiplicación hay un numerador y denominador en distintas fracciones (cruzados) estos se pueden simplificar así evitar multiplicaciones demasiado grandes.

Ej. \(\frac{4}{7}\cdot\frac{-7}{5}\)

El denominador de la fracción 1 y el numerador de la fracción 2 son iguales, por lo cual se pueden simplificar por el mismo numero (para el signo, respetar la regla + · – = -, Clase 1)

La fracción simplificada por 7 quedaría \(\frac{4}{1}\cdot\frac{-1}{5}\) Resultado \(-\frac{4}{5}\)

División: Para dividir fracciones en los Números Racionales, se debe mantener en el mismo orden la primera fracción, las otras fracciones se invierten y los divisores se transforman en multiplicación.

\(\frac{4}{5}:\frac{8}{7}\) equivale a decir \(\frac{4}{5}\cdot\frac{7}{8}\)

\(\frac{1}{2}:\frac{3}{4}:\frac{5}{6}:\frac{7}{8}\) equivale a decir \(\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{8}{7}\)

La fracción se puede simplificar antes de resolver, es primordial hacerlo pues nos aliviara mucho la carga sobre todo con números grandes. (recuerden el consejo de arriba)

Resultado: \(\frac{1}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{6}{5}\cdot\frac{8}{7}\) Simplificada \(\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{8}{7}\) = \(-\frac{32}{35}\)

Números Mixtos: Cuando una fracción del conjunto de Números Racionales tiene un numerador menor que el denominador, se le llama Fracción Propia, N < D pero cuando una fracción tiene un numerador mayor que el denominador N > D se le llama fracción Impropia.

Toda fracción impropia se puede escribir como un numero mixto, es decir como la combinación de un numero entero y una fracción.

Ej. \(\frac{-19}{5} = -3\frac{4}{5}\)

para llegar al resultado de mas arriba, debemos hacer lo siguiente:

\(\frac{-19}{5}\) se divide el numerador por el denominador \(-19:5=-3\) el resultado equivale al numero entero y se respeta el signo el resto de la operación es 4 (5 cabe 3 veces en 19 y sobran 4) el resto de esa división pasa a ser el numerador y se conserva el denominador de la fracción original quedando \(-3\frac{4}{5}\)

Para comprobar que la operación es correcta, podemos transformar un numero mixto en fracción de una forma aun mas simple.

\(-3\frac{4}{5}\) para comprobar hacemos lo siguiente \(-3\cdot5+4 = -19\) se conserva el denominador y queda \(\frac{-19}{5}\)

Con esto terminamos el repaso de los Conjuntos de Números naturales, Conjunto de Números Enteros, Conjunto de números racionales y sus operatorias aritmeticas. les dejo un par de ejercicios y hasta la próxima.

Ejercicios:

\(\frac{4}{7}-2\frac{3}{7}+\frac{13}{7}+3\frac{4}{7}\)

Solución = \(3\frac{4}{7}\)

\((2-\frac{1}{2})(3-\frac{1}{3})(4-\frac{1}{4})\)

Solución = \(15\)

\((\frac{1}{2}:(\frac{1}{3}:\frac{1}{4})):\frac{1}{5}+\frac{1}{2}:(\frac{1}{3}(\frac{1}{4}:\frac{1}{5}))+\frac{1}{2}:((\frac{1}{3}:\frac{1}{4}):\frac{1}{5})\)

Solución = \(3\frac{33}{40}\)


Enlaces de interés: Minimo Común Múltiplo

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