Para dar fin al repertorio de matemática este semestre, haremos un repaso (repaso algunos y materia nueva para otros) sobre las propiedades de los logaritmos, que pese a la magnitud impotente de su nombre, es mas fácil de lo que aparenta.


Definir las propiedades de los logaritmos, no tiene mucho complejidad  sin embargo tratar de dar a entender con palabras que son y como resolverlos puede ser enredado, lo ideal seria poder realizar un vídeo de introducción  pero lamentablemente por tiempo no creo poder hacerlo, así que en este repaso, seré lo bastante básico escribiendo y explicando de manera que se pueda comprender lo mejor posible el contenido.

Propiedades de los Logaritmos

Un Logaritmo: bx = a

Los logaritmos nos sirven para encontrar el exponente de una potencia, su argumento e inclusive su resultado, lo que debemos tener en cuenta es que valor es el que necesitamos conocer antes de resolverlos.

[latex]\log_{a}b = x[/latex]

b: Base
a: Argumento
x: Resultado (Exponente de la potencia)

Osea podemos decir que:

[latex]\log_{a}b = x \Longrightarrow b^x = a[/latex]

obs: si un logaritmo no tiene escrita una base, entonces su base es “10”.

Resolviendo Logaritmos

[latex]\log_{2}8 = x \Longrightarrow 2^x = 8 \\ \log_{2}8 = x \Longrightarrow 2^3 = 8 \\ \log_{2}8 = x \Longrightarrow x = 3 \\ \log_{2}8 = 3[/latex]

Entonces para resolver el Logaritmo anterior, la base “2” la elevamos a “x” para que el resultado sea el argumento “27” quedando 2x = 27.

[latex]\log_{3}27 = x \Longrightarrow 3^x = 27 \\ \log_{3}27 = x \Longrightarrow 3^3 = 27 \\ \log_{3}27 = x \Longrightarrow x = 3 \\ \log_{3}27 = 3[/latex]

El procedimiento, siempre es el mismo, independiente de donde este la incógnita “x” como por ejemplo.

[latex]\log_{2}x = 8 \Longrightarrow 2^8 = x \\ \log_{2}x = 8 \Longrightarrow 2^8 = 256 \\ \log_{2}x = 8 \Longrightarrow x = 256 \\ \log_{2}256 = 8[/latex]

Entonces para resolver el Logaritmo anterior, la base “2” la elevamos a “8” para que el resultado sea el argumento “x” quedando 28 = x.

[latex]\log_{2}x = 10 \Longrightarrow 2^{10} = x \\ \log_{2}x = 10 \Longrightarrow 2^{10} = 1024 \\ \log_{2}x = 10 \Longrightarrow x = 1024 \\ \log_{2}1024 = 10[/latex]

en estos últimos dos ejemplos la incógnita era el argumento, pero el procedimiento para resolverlos era el mismo. Tomamos la base, la elevamos al resultado y el argumento seria la incógnita.

Otro caso que puede presentarse es que la base sea la incógnita.

[latex]\log_{x}81 = 4[/latex]

para resolver un logaritmo con base desconocida, deberemos aplicar raíces antes de resolver, dejando el ejemplo anterior de la siguiente manera.

[latex]\log_{x}81 = 4 \Longrightarrow x^4=81\\\log_{x}81=4\Longrightarrow\sqrt[4]{x}=\sqrt[4]{81}\\\log_{x}81=4\Longrightarrow x =\sqrt[4]{81}\\\log_{x}81=4\Longrightarrow x=3[/latex]

Esas son las posibilidades que podemos encontrar a la hora de resolver un logaritmo, quizás a lápiz y papel se entienda un poco mejor, veamos la siguiente imagen.

Propiedades de los Logaritmos

Operatoria de Logaritmos

En ocasiones  es muy común que nos encontremos con operatorias entre logaritmos, ya sean sumas, restas, multiplicación o división, en este caso deben resolver logaritmo por logaritmo usando el método anterior y luego resolver.

[latex]a\log_{c}b + d\log_{f}e[/latex]

Para resolver el ejemplo anterior, primero resolvemos el primer logaritmo que seria [latex]\log_{c}b[/latex] y luego el segundo [latex]\log_{f}e[/latex] y el resultado que nos de en ambos lo multiplicamos por el numero que los antecedía.

Ejemplos:

[latex]2\log_{2}8 + 3\log_{2}32 – 4\log_{2}16[/latex]

Identifiquemos los logaritmos de esa operación,

el Primero seria [latex]\log_{2}8 = x \Longrightarrow x = 3[/latex]

el Segundo seria [latex]\log_{2}32 = x \Longrightarrow x = 5[/latex]

el Tercero seria [latex]\log_{2}16 = x \Longrightarrow x = 4[/latex]

Resolvemos el x de cada uno (usando el método anterior) y quedaría.

[latex]2\log_{2}8+3\log_{2}32-4\log_{2}16\Longrightarrow2\cdot(3)+3\cdot(5)-4\cdot(4)[/latex]

Lo que esta entre paréntesis () es el resultado de los logaritmos osea es la x que resolvimos anteriormente y los que están fueras del paréntesis  son los que multiplicaban al logaritmo. (el resultado de la operatoria es 5)

Propiedades de los Logaritmos

Las propiedades de los logaritmos, son pocas y sencillas de entender, en realidad no requieren mucho esfuerzo siempre y cuando como todo en matemática, sepan aplicarlas.

Antes de comenzar con las propiedades de los logaritmos, mencionare unos casos que puden presentarse y que nos acortaran camino al momento de resolver, por ejemplo:

1-. Si un logaritmo tiene la misma base y el mismo argumento, el resultado siempre sera 1

[latex]\log_{a}a = 1[/latex]

2-. si el argumento del algoritmo es 1, el resultado siempre sera “0”

[latex]\log_{a}1 = 0[/latex]

3-. Si un logaritmo no tiene escrita ninguna base, su base equivale a 10

[latex]\log_{}a = x\Longrightarrow\log_{10}a = x[/latex]

Ahora vamos por las propiedades de los logaritmos en operatorias.

1-. si los logaritmos se suman y tienen la misma base, sus argumentos se multiplican.

[latex]\log_{d}a +\log_{d}b +\log_{d}c =\log_{d}a \cdot b\cdot c[/latex]
2-. Si un logaritmo se resta y tienen la misma base, sus argumentos se dividen.

[latex]\log_{d}a -\log_{d}b =\log_{d}\frac{a}{b}[/latex]

y eso seria todo en algoritmos,  por lo menos lo básico que seria, resolverlos, las operatorias y las propiedades de los algoritmos Ahora a practicar que si no de nada sirve.

¿No te quedo claro algo sobre logaritmos o las propiedades de los logaritmos?

http://www.youtube.com/playlist?list=PLA2158AA0EFA7CADA

Nos leemos en Calculo.


Fuente: Clase de las propiedades de los Logaritmos, impartidas en “PeV” Programación Computacional de Aiep.

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