El Álgebra elemental se puede definir como: pasar de lo general a lo particular.

Anteriormente repasamos lo básico de las matemáticas  desde el Conjunto de números hasta las propiedades de las raíces. Hoy nos divertiremos un poco mas y recordaremos los conceptos básicos del álgebra elemental.

Lenguaje Algebraico: Se Llama TERMINO ALGEBRAICO a un conjunto de números y letras que se relacionan entre sí  por medio de la multiplicación y/o división.

x: Es un numero cualquiera.

2x: El Doble de un numero.

\((\frac{x}{2}^3)\): La mitad de un cubo.

\(\frac{x}{4}+5\): La cuarta parte de un numero aumentado en 5.

x + y: La suma de dos números.

(x + y)²: La suma de dos números al cuadrado.

x² + y²: La suma de los cuadrados de 2 números.

\(2x – \frac{3}{4}x\): El doble de un numero menos su tres cuarta parte.

\(5x^3- \frac{x^2}{4} + 1\): El quintuple de un numero al cubo menos la cuarta parte del cuadrado del mismo numero menos 1

Álgebra elemental

Álgebra Elemental

Valorización de términos algebraicos (álgebra elemental): Se llama EXPRESIÓN ALGEBRAICA a la representación de un  TÉRMINO ALGEBRAICO que se suma o se resta. Si la expresión tiene 2 términos entonces es un BINOMIO; Si la expresión tiene tres términos se llama TRINOMIO; Si tiene cuatro o más, hablamos de POLINOMIOS. (El Termino Polinomio se puede usar en forma general para cualquier expresión algebraica). Todos se componen de Factor numérico y un Factor literal.

Monomio 5a: Donde (5) es el factor Numérico y (a) el factor Literal.

5axz² (Monomio)

Binomio 5a – 3b o b + 3x²

Nota: Cuando un Termino Algebraico, no lleva Factor numérico, el factor numérico corresponde a 1, pero este no se escribe.

Ej: 1 · b = b

Trinomio 3x + 2y +4z²

Polinomio 2a – 3b² + 7x – 8y + 8xy

Lo importante de la valoración de términos algebraicos en el Álgebra elemental, es aprender a distinguir cuando es un monomio o un trinomio (+)(-) es quien separa las expresiones algebraicas.

En el álgebra elemental, para valorizar una expresión algebraica, hay que darle valor a cada factor literal.

5a – 3b donde «a» = 2 y «b» = 5.

5 · – 3 · 5 = 5

5a – 3b donde «a» = -1 y «b» = -3.

5 · -1 – 3 · -3 = 4

Una forma sencilla de valorizar las expresiones en el Álgebra elemental, es resolverlas como monomios.

Por Ejemplo:

3x²+5x³y-2y³+4xy

Donde «x» =1 , «y» =-2

3x² = 3 · 1² = 3

5x³y = 5 · 1³ · -2 = -10

-2y³ = 2 · -2³ =16

4xy = 4 · 1 · -2 = -8

Resultado: 3-10+16-8 = 1

Operatoria en Álgebra

\(3xz^8y^9\): Termino Algebraico

3 = Factor Numérico
\(xz^8y^9\) = Factor Literal (El exponente forma parte del factor literal)

Términos Semejantes: Los términos semejantes en el Álgebra elemental, son todos los términos algebraicos que tienen el mismo factor literal (y por consiguiente el mismo exponente).

  1. Son términos semejantes:\(a^2,\ 2a^2,\ -3a^2,\ 5a^2,\ \frac{a}{4}^2\)
  2. No son términos semejantes:\(a^2b\ \neq\ ab^2,\ -a\ \neq\ -a^2,\ 2ab\ \neq\ ab^2\)

Vemos que en el ejemplo 1, el factor literal de todos ellos es a2; por esta razón todos son semejantes.

En el ejemplo 2, en cambio, tenemos en los tres casos factores literales diferentes entre sí.

En una expresión algebraica podemos SÓLO reducir aquellos términos que son semejantes y esto se efectúa sumando (o restando) los coeficientes numéricos y manteniendo el factor literal.

El uso de paréntesis es frecuente en álgebra elemental. Sirve para separar expresiones algebraicas y se elimina de acuerdo con las siguientes  reglas:

  • Si está precedido por un signo + o no tiene signo escrito, se elimina sin hacer ningún cambio
  • Si esta precedido por un signo – se elimina después de cambiar TODOS los signos de los términos del interior del paréntesis. (Es importante hacer notar que al eliminar el paréntesis también se elimina el signo – que lo antecede).

En sumas: se suman los factores numéricos y se conserva el factor literal.

1-. 7a²b³ + 5a²b³ = (7 +5)a²b³ = 12a²b³

2-. \(\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{5}y^3+\frac{7}{2}x^2+\frac{7}{5}y^3-\frac{3}{7}z^4+\frac{2}{7}z^4\)

= \(\frac{3}{2}x^2+\frac{7}{2}x^2-\frac{1}{5}y^3+\frac{7}{5}y^3-\frac{3}{7}z^4+\frac{2}{7}z^4\)

= \(\frac{3+7}{2}x^2-\frac{1+7}{5}y^3-\frac{3+2}{7}z^4\)

= \(\frac{10}{2}x^2+\frac{6}{5}y^3-\frac{1}{7}z^4\)

En Multiplicación: en el Álgebra elemental para multiplicar expresiones algebraicas estas se deben expresar multiplicando factor numérico por factor numérico y factor literal por factor literal, teniendo en cuenta las propiedades de la potencia.

Monomio por Monomio – álgebra elemental: 

3x²y³z² · -5x²y³z² = 3x · -5(x³+ x² y²+y³ z³+z²)

Monomio por Binomio – álgebra elemental:

a  · (a ± c) = a · b ± a · c

Binomio por Binomio – álgebra elemental:

(a ± b)·(c ± d) = ac ± ad ± bc ± bd

Ejemplos:

1-. a6 · a7

  • a6+7
  • a13

2-. (ab)4

  • a4 · b4

3-. -4a2b (a2 + ab – b)

  • -4a2b · a2 – 4a2b · ab – 4a2b · -(b)
  • -4a4b – 4a3b2 + 4a2b2

4-. (2x + y) (3x + 2y)

  • 2x (3x + 2y) + y (3x + 2y)
  • 2x · 3x + 2x · 2y + y · 3x + y · 2y
  • 6x2 + 4xy + 3xy + 2y2
  • 6x2 + 7xy + 2y2

Productos Notables

en el Álgebra elemental dentro de la multiplicación algebraica existen algunos productos que pueden ser desarrollados en forma directa, es decir, sin multiplicar término a término primeo, y luego reducir. Estos son:

Cuadrado de un binomio – álgebra elemental.

El desarrollo de este producto corresponde al cuadrado del primer término, más (o menos)  el doble del producto del primer término por el segundo y más el cuadrado del segundo, es decir:

(a ± b)2  = a2 · 2ab + b2

Suma por sus diferencias – álgebra elemental.

Es igual a la diferencia de los cuadrados de los términos, es decir:

(a + b) (a – b) = a2 – b2

Producto de binomios con un término en común – álgebra elemental.

Es el cuadrado del término común más el producto del término común por la suma de los términos no comunes y más el producto de los términos no comunes, o sea:

(x + a) (x + b) = x2 + x · (a + b) + ab

Trinomio al cuadrado – álgebra elemental.

(a ± b ± c)² = a² ± b² ± c² + 2ab + 2bc + 2ac

Factorización

en el Álgebra elemental, factorizar una expresión algebraica (o suma de términos  algebraicos) consiste en escribirla en forma de multiplicación. Veremos los siguientes casos:

Factor común (monomio y polinomio)

Aquí, todo los términos de la expresión presentan un factor común, que puede ser un monomio o polinomio, por el cual se factoriza, es decir, el termino común es uno de los factores de la multiplicación. El otro se determina aplicando la multiplicación algebraica.

  1. Factoricemos la expresión 2x + 6x2

    Veamos que 2x está contenidos por ambos términos del binomio que queremos factorizar; por lo tanto 2x es el factor común y escribimos 2x + 6x2 → 2x (1 + 3x)El segundo factor se obtiene buscando los términos por los cuales hay que multiplicar el factor común (2x) para obtener los términos de la expresión original.
  2. Factoricemos la expresión 6xy2 – 15x2y + 21x2y2El coeficiente numérico contenido en los tres términos de la expresión es el tres y el factor literal es xy; por lo tanto, el factor común es 3xy. Y escribimos:6xy2 – 15x2y + 21x2y2 → 3xy (2y – 5x + 7xy)

Factor común compuesto – álgebra elemental.

en el Álgebra elemental muchas veces, no todo los términos de una expresión algebraica contienen un factor común, pero haciendo una adecuada agrupación de ellos podemos encontrar factores comunes de cada grupo. Veremos, con ejemplos cómo procederemos en estos casos.

  1. Factoricemos:  ac + ad + bc + bdSi observamos, vemos que el primer y el segundo término tienen el factor común “a” y el tercer y cuarto termino tienen el “b” como factor común. Asociamos y factorizamos por partes:ac + ad + bc + bd → (ac + ad) + (bc + bd) → a(c + d) + b(c + d)Ahora nos queda  (c + d) como factor común ,  por lo tanto , la expresión original nos queda:

    ac + ad + bc + bd → (c+ d) (a + b)

Diferencia de cuadrados – álgebra elemental.

Recordemos que el producto de una suma de dos términos por su diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de ambos términos.

Apliquemos este resultado en las factorizaciones siguientes:

  1. Factoricemos a2 – b2Observemos que a2 y b2 son los cuadrados de a y b, respectivamente.Así: a2 – b2 → ( a + b)(a – b)
  2. Factoricemos 9m2 – 16p29m2 es el cuadrado de 3m  y 16p2 es el cuadrado de 4pEntonces: 9m2 – 16p2 → (3m + 4p) (3m – 4p)

Trinomios ordenados – álgebra elemental.

Llamamos trinomios ordenados (según el grado) a una expresión de la forma ax2 + bx + c, donde a, b, c y x representan números reales.

En general los trinomios pueden proceder:

  • De la multiplicación de los binomios  por sí mismo ( o un cuadrado de binomio); por ejemplo:(a + 7)2 → a2 + 14a + 49
  • De la multiplicación de dos binomios con un término común; por ejemplo:(a + 2) (a + 6) →  a2 + 8a + 12
  • O de la multiplicación de dos binomios de términos semejantes:(2x + 1) (x + 2) → 2x2 + 5x + 2
  1. Factoricemos x2 + 10x + 25Observamos que el primer termino (x2)  y el ultimo (25) son los cuadrados de x y 5,  respectivamente, y además el termino central (10x) corresponde al doble del producto de x y 5; entonces la expresión es un cuadrado de binomio y así:
    x2 + 10x + 25 → (x + 5)2
  2. Factoricemos a2 – 8a + 16usando el mismo razonamiento anterior, observamos que el trinomio corresponde al cuadro de binomio (a – 4)  y escribimos:a2 – 8a + 16 → (a – 4)2El signo del término central  del trinomio indica el signo que corresponde al segundo término del binomio.
  3. Factoricemos a2 – 2a – 48
    Descartamos la posibilidad de cuadrado de binomio por que el ultimo término (-48) no es cuadrado de ningún número.Buscamos dos números cuyo producto sea -48, y cuya «suma» sea -2,  la que al multiplicarla por el termino común «a» nos del el termino central -2a. Los números  son -8 y  +6, (puesto que «-8 · 6 = -48» y «-8 + 6 = -2») la factorización correspondiente es:a2 – 2a – 48 → (a – 8) (a + 6)

Interes: https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_elemental

Fuentes: www.aiep.cl y www.inacap.cl

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