En el repaso de matemáticas de hoy tocaremos el tema que a todo el mundo incomoda y nadie gusta, Propiedades de las raíces.

Definitivamente es algo que a mi gusto preferiría resolver con calculadora y no entenderme mas en el tema, sin embargo como programador tengo que darme el trabajo de entender cada proceso u algoritmo que desarrolla un determinado problema para así poder aplicar la solución correcta, en resumen, sean programadores o no, deben entender como se resuelve algo para poder entender su resultado (ademas no siempre tenemos una calculadora científica a mano) y que mejor forma que conociendo las Propiedades de las raíces

Volviendo al tema, debido a que las raíces se pueden transformar a potencias con exponente fraccionario, estas adquieren todas las propiedades de las potencias.

Propiedades de las raíces

Propiedades de las Raíces, Definición y Aplicación.

Definición de una Raíz

La raíz es un factor que se ha de multiplicar «n» veces por si mismo para obtener un numero determinado.

\(\sqrt[n]{a}= x\) Raíz enecima de «a», donde «n» es el indice y «a» la cantidad subradical.

«a»: indica el resultado de un numero que multiplicado por si mismo de como resultado «a».
«n»: indica la cantidad de veces que el numero «x» se multiplicara por si mismo.
«x»: Indica el numero que debe multiplicarse «n» veces por si mismo para obtener «a»

\(\sqrt[n]{a} = x \Longrightarrow x^{n}\) 

Ejemplo:

Para resolver la \(\sqrt[4]{16} \) Buscamos el numero «x» que al multiplicarlo 4 (n) veces no de como resultado 16 (a)

\(\sqrt[4]{16}= 2 \Longrightarrow2\cdot2\cdot2\cdot2 = 16\) 

otros Ejemplos de la definición de raíces:

\(\sqrt[5]{32} = 2 \Longrightarrow2\cdot2\cdot2\cdot2\cdot2 = 32\) \(\sqrt{256} = 16 \Longrightarrow16\cdot16 = 256\) \(\sqrt{625} = 25 \Longrightarrow25\cdot25 = 625\)

\(\sqrt[4]{81} = 3 \Longrightarrow3\cdot3\cdot3\cdot3 = 81\) 

Si una raíz, no antepone ningún indice, se le conoce como raíz Cuadrada \(\sqrt{a} \) donde «n» equivale a «2».

Propiedades de las raíces

1-. Propiedades de las raíces: Expresando una raíz como una potencia con indice fraccionario.

\(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\) \(\sqrt[3]{27} = 27^{\frac{1}{3}}\) \(\sqrt[5]{1024} = 1024^{\frac{1}{5}}\)

\(\sqrt[4]{81} = 81^{\frac{1}{4}}\) 

Si hacemos un poco de memoria, en las propiedades de las potencias el valor \(\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}\) es lo equivalente a decir \(a^{-n}\)

2-. Raíz de un producto: La raíz de un producto es igual al producto de las raíces.

\(\sqrt[n]{a \cdot b} = \sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}\) \(\sqrt{25 \cdot 16} = \sqrt{25}\cdot\sqrt{16} = 5 \cdot 4 = 20\) \(\sqrt[5]{32 \cdot 243} = \sqrt[5]{32}\cdot\sqrt[5]{243} = 2 \cdot 3 = 6\)

\(\sqrt[3]{27000} = \sqrt[3]{27 \cdot 1000} =\sqrt[3]{27}\cdot\sqrt[3]{1000} = 3 \cdot 10 = 30\) 

3-. Raíz de un cociente: la raíz de una división es igual a la división de las raíces.

\(\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} \sqrt[n]{\frac{a}{b}}\)

\(\frac{\sqrt{125}}{\sqrt{5}} \sqrt{\frac{125}{5}}=\sqrt{25} = 5\) 

4-. Potencia de una raíz con indices iguales: l resultado es el subradical de la raíz.

\((\sqrt[n]{a})^n =\sqrt[n]{a^n} = a\) \((\sqrt[3]{a})^3 =\sqrt[3]{a^3} = a\)

\((\sqrt[6]{360})^6 =\sqrt[6]{360^6} = 360\) 

5-. Raíz de una Raíz: Se conserva el radical y se multiplican sus indices.

\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} =\sqrt[n\cdot m]{a}\) \(\sqrt[3]{\sqrt[4]{4096}} =\sqrt[3\cdot 4]{4096} =\sqrt[12]{4096}= 2\)

\(\sqrt[3]{\sqrt{1}} =\sqrt[3\cdot 2]{1}=\sqrt[6]{1}\) 

6-. Producto de un numero real por un radical: Se eleva el numero por el indice de la raíz y se multiplica por el subradical.

\(x\cdot\sqrt[n]{a} =\sqrt[n]{x^n\cdot a}\)

\(4\cdot\sqrt[3]{2} =\sqrt[3]{4^3\cdot 2} =\sqrt[3]{64\cdot 2} =\sqrt[3]{128}\) 

7-. Suma del producto de un numero real por un radical: Si el indice y el subradical son iguales, se suman los factores y el resultado aplica la propiedades de las raíces numero 6.

\(a\cdot\sqrt[n]{b}+c\cdot\sqrt[n]{b}+d\cdot\sqrt[n]{b}+e\cdot\sqrt[n]{b}+\cdots\) \(2\cdot\sqrt{2}+3\cdot\sqrt{2}+15\cdot\sqrt{2}+5\cdot\sqrt{2} =(2+3+15+5)\sqrt{2} = 25\sqrt{2}\)

\(2\cdot\sqrt{2}+2\cdot\sqrt{4}+3\cdot\sqrt[3]{6} =\notin\) 

8-. Multiplicación del producto de un real por un radical: si el indice es el mismo, se multiplican los factores y los sub radicales y se conserva el indice, luego se aplican las propiedades de las raíces numero 6.

\(x\cdot\sqrt[n]{b}\cdot\ y\cdot\sqrt[n]{c}\cdot\ z\cdot\sqrt[n]{d} \cdots\)

\(2\cdot\sqrt[3]{3}\cdot\ 4\cdot\sqrt[3]{6} = (2\cdot4)\sqrt[3]{3\cdot6} = 8\sqrt[3]{18}\) 

Así sin mas, terminamos con las propiedades de las raíces, si es que me quedo alguna por mencionar, son libres de indicarlas en los comentarios.

Para dominar las raíces el resto es practica, al igual que todo en la matemática, mucha practica y ejercicios.

Descomposición de Raíces

25/04/13: el otro día haciendo un par de ejercicios me apareció un problema bastante entretenido, me dieron 3 radicales a resolver, sin embargo no encontré ninguna propiedad que me permitiera desarrollarlos sin necesidad de usar la calculadora, entonces ¿como se simplifican o descomponen las raíces?

Agrego este apartado para dar un par de ejemplos, por si necesitan resolver este tipo de problemas.

1-. \(\sqrt{8} =\sqrt{2\cdot4} = 2\sqrt{2}\) 

Recordemos las Propiedades de las raíces,la numero 6 para ser mas exactos.

si un numero real multiplica la raíz, Se eleva el numero por el indice de la raíz y se multiplica por el subradical.

Entonces, si se preguntaron por que

\(2\sqrt{2}=\sqrt{8}\) 

Es simple, por que según la propiedad, esto seria lo mismo que decir

\(\sqrt{2^2\cdot2}\) 

2-. \(\sqrt{50} =\sqrt{5\cdot25} = 5\sqrt{2}\) 

¿Se entiende la idea?

bien vamos por un ejercicio y apliquemos.

\(\sqrt{75}+\sqrt{12}-\sqrt{147}\) 

Las Propiedades de las raíces nos dicen, que si queremos sumar un grupo de raíces  el subradical y el indice deben ser los mismos, entonces antes de resolver, deberemos simplificar las raíces.

\(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}\) 
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}\) 
\(\sqrt{147}=\sqrt{49\cdot3}\) 

Lo que intentamos hacer es igualar el radical de la raíz como primer paso por un numero lo mas pequeño posible. luego despejamos.

\(\sqrt{75}=\sqrt{25\cdot3}=5\sqrt{3}\) 
\(\sqrt{12}=\sqrt{4\cdot3}=2\sqrt{3}\) 
\(\sqrt{147}=\sqrt{49\cdot3}=7\sqrt{3}\) 

Ahora que simplificamos podemos resolver aplicando las propiedades.

\(5\sqrt{3}+2\sqrt{3}-7\sqrt{3}\) 

Perdonen si erre en algún termino matemático o resultado, recuerden que soy un alumno al igual que ustedes.

Saludos y hasta el próximo repaso.

Material de apoyo:
http://www.profesorenlin…Propiedades.html
http://www.unizar.e…40a.pdf

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